Question

函数f（x）=2^x和g（x）=x³的部分图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（Ⅰ）请指出示意图中曲线C₁、C₂分别对应哪一个函数？
（Ⅱ）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由；
（Ⅲ）结合函数图象示意图，请把f（6），g（6），f（2011）、g（2011）四个数按从小到大的顺序排列．

Answer 1

分析：（I）由幂函数和指数函数的增长的特点知，当自变量取值足够大时，2^x远大于 x³，故g（x）=x³，f（x）=2^x．
（II）由h（1）•h（2）＜0，得x₁∈[1，2]，由h（9）•h（10）＜0，可得x₂∈[9，10]，从而得出a，b的值．
（III）由两个函数的图象及两个函数的增长速度的快慢可得，当自变量取值足够大时，2^x远大于 x³．

解答：解：（I）图象C₁对应的函数：g（x）=x³； 图象 C₂对应的函数：f（x）=2^x．
（II）记h（x）=f（x）-g（x），由h（1）=1，h（2）=-4，
由h（1）•h（2）＜0，
得x₁∈[1，2]，∴a=1．
同理：h（9）=-217，h（10）=24，h（9）•h（10）＜0，
可得x₂∈[9，10]，∴b=9．
（III）由两个函数的图象及两个函数的增长速度的快慢可得，f（6）＜g（6）＜g（2011）＜f（2011）．

点评：本题考查指数函数和幂函数的增长差异，体现了数形结合的数学思想．