Question

已知函数f（x）=ax²-2x+3，x∈（0，3]．
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）如果函数f（x）在定义域内有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用配方法求二次函数在闭区间上的值域即可；
（2）函数f（x）在定义域内有零点即方程ax²-2x+3=0在x∈（0，3]上有实根，等价于求函数a=

2x-3

x2

在x∈（0，3]上的值域，然后利用换元法转化成二次函数求值域即可．

解答：解：（1）当a=1时f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，x∈（0，3]．
∴f（x）的最小值是f（1）=2，最大值为f（3）=6
∴函数f（x）的值域为[2，6]
（2）函数f（x）在定义域内有零点即方程ax²-2x+3=0在x∈（0，3]上有实根．
等价于求函数a=

2x-3

x2

在x∈（0，3]上的值域
令h（x）=

2x-3

x2

则h（x）=

2x-3

x2

=-3(

1

x

)2+2(

1

x

)，x∈（0，3]
令

1

x

=t∈[

1

3

，+∞）
则g（t）=-3t²+2t=-3（t-

1

3

）²+

1

3

当t=

1

3

时，g（t）有最大值

1

3

∴a≤

1

3

点评：本题主要考查了二次函数的性质，以及函数零点的判断，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．