Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂,离心率为且过点(4,-).

(1)求双曲线的标准方程;

(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点,求证:F₁M⊥F₂M.

Answer 1

1、双曲线方程为x²-y²=6.

2、见解析

解析:

(1) e=,则=2,

∴a=b.故可设双曲线的方程为x²-y²=λ(λ≠0).

由于双曲线过点(4,-),

∴4²-(-)²=λ.∴λ=6.

∴双曲线方程为x²-y²=6.

(2)证明:由(1)可得F₁(-2,0)、F₂(2,0)、?M(3,)、N(3,-).

∴

∴=-1.∴F₁M⊥F₂M.