Question

已知命题p：不等式|x|+|x-1|＞a的解集为R，命题q：f（x）=-（5-2a）^x是减函数，若p，q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是

[1，2）

．

Answer 1

分析：由题意可先对两个命题进行转化解出使命题成立的a的取值范围，再由p，q中有且仅有一个为真命题，分为两类“p真，q假”与“p假，q真”分别解出符合条件的a的取值范围，再求它们的并集即可得到所求的实数a的取值范围

解答：解：由题意，命题p：不等式|x|+|x-1|＞a的解集为R，由于|x|+|x-1|≥1，故a＜1
命题q：f（x）=-（5-2a）^x是减函数．可得5-2a＞1，解得a＜2
∵p，q中有且仅有一个为真命题
若p真，q假，此时实数a的取值范围是∅
若p假，q真，此时实数a的取值范围是1≤a＜2
综上得p，q中有且仅有一个为真命题，则实数a的取值范围是[1，2）
故答案为[1，2）

点评：本题考查了绝对值不等式与指数函数的单调性，命题真假的判断，解题的关键是理解题中p，q中有且仅有一个为真命题，正确转化是解题的重点