题目内容
已知函数f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b不同时为零的常数),导函数为f′(x).
(1)当a=
时,若存在x∈[-3,-1]使得f′(x)>0成立,求b的取值范围;
(2)求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少有一个零点;
(3)若函数f(x)为奇函数,且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,关于x的方程f(x)=-
t在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根,求实数t的取值范围.
(1)当a=
1 |
3 |
(2)求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少有一个零点;
(3)若函数f(x)为奇函数,且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,关于x的方程f(x)=-
1 |
4 |

(1)当a=
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
其对称轴为直线x=-b,当
|
26 |
15 |
当
|
所以b的取值范围为(-∞ ,
26 |
15 |
(2)因为f′(x)=3ax2+2bx+(b-a),
∴f′(0)=b-a,f'(-1)=2a-b,f′(-
1 |
3 |
b-2a |
3 |
由于a,b不同时为零,所以f′(-
1 |
3 |
(3)因为f(x)=ax3+bx2+(b-a)x为奇函数,所以b=0,所以f(x)=ax3-ax,
又f(x)在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0.
所以a=1,即f(x)=x3-x.因为f′(x)=3(x-
| ||
3 |
| ||
3 |
所以f(x)在(-∞,-
| ||
3 |
| ||
3 |
在[-
| ||
3 |
| ||
3 |
如图所示,当-1<t≤-
| ||
3 |
1 |
4 |
t |
4 |
| ||
2 |
| ||
3 |
当-
| ||
3 |
1 |
4 |
| ||
3 |
当0<t≤
| ||
3 |
1 |
4 |
t |
4 |
| ||
3 |
当t>
| ||
3 |
1 |
4 |
| ||
3 |
| ||
2 |
所以所求t的取值范围是-
| ||
2 |
| ||
2 |

练习册系列答案
相关题目