题目内容

已知函数f(x)=ax3+bx2+(b-a)x(a,b不同时为零的常数),导函数为f′(x).
(1)当a=
1
3
时,若存在x∈[-3,-1]使得f′(x)>0成立,求b的取值范围;
(2)求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少有一个零点;
(3)若函数f(x)为奇函数,且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0,关于x的方程f(x)=-
1
4
t
在[-1,t](t>-1)上有且只有一个实数根,求实数t的取值范围.

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(1)当a=
1
3
时,f′(x)=x2+2bx+b-
1
3
=(x+b)2-b2+b-
1
3

其对称轴为直线x=-b,当
-b≥-2
f′(-3)>0
,解得b<
26
15

-b<-2
f′(-1)>0
,b无解,
所以b的取值范围为(-∞ , 
26
15
)
;(4分)
(2)因为f′(x)=3ax2+2bx+(b-a),
∴f′(0)=b-a,f'(-1)=2a-b,f′(-
1
3
)=
b-2a
3

由于a,b不同时为零,所以f′(-
1
3
)•f′(-1)<0
,故结论成立.
(3)因为f(x)=ax3+bx2+(b-a)x为奇函数,所以b=0,所以f(x)=ax3-ax,
又f(x)在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0.
所以a=1,即f(x)=x3-x.因为f′(x)=3(x-
3
3
)(x+
3
3
)

所以f(x)在(-∞,-
3
3
) , (
3
3
,+∞)
上是増函数,
[-
3
3
3
3
]
上是减函数,由f(x)=0解得x=±1,x=0,
如图所示,当-1<t≤-
3
3
时,f(t)≥-
1
4
t≥0
,即t3-t≥-
t
4
,解得-
3
2
≤t≤-
3
3

-
3
3
<t<0
时,f(t)>-
1
4
t≥0
,解得-
3
3
<t<0
;当t=0时,显然不成立;
0<t≤
3
3
时,f(t)≤-
1
4
t<0
,即t3-t≤-
t
4
,解得0<t≤
3
3

t>
3
3
时,f(t)<-
1
4
t<0
,故
3
3
<t<
3
2

所以所求t的取值范围是-
3
2
≤t<0
0<t<
3
2
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