Question

已知函数y=asinx+bcosx+c的图象上有一个最低点(

11

6

π，1)，如果图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

3

π

倍，然后向左平移1个单位可得y=f（x）的图象，又知f（x）=3的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，求f（x）的解析式、最小正周期、单调减区间，并画出f（x）的草图．

Answer 1

分析：先利用辅助角公式对函数化简可得，y=asinx+bcosx+c=

a2+b2

sin(x+?)+c，由(

11

6

π，1)是图象上的最低点可得取得最值的条件x=

11π

6

及最小值为1即

11 6 π+?=2kπ- π 2 - a2+b2 +c=1

，从而可求函数解析式再由f（x）=3的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，可得曲线y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离都相等，根据三角函数的图象与性质，即过f（x）的最高点或最低点，要么过曲线的拐点（平衡位置点），且由于(

11

6

π，1)是图象上的最低点，结合已知可求答案．

解答：解：y=asinx+bcosx+c=

a2+b2

sin(x+?)+c，
其中φ满足tan?=

b

a

，φ与（a，b）同象限，
由于(

11

6

π，1)是图象上的最低点，所以

11 6 π+?=2kπ- π 2 - a2+b2 +c=1

，
即

?=2kπ- 7π 3 a2+b2 =c-1

．所以y=(c-1)sin(x+2kπ-

7

3

π)+c=(c-1)sin(x-

π

3

)+c，
将上述图象上每点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的

3

π

倍，
得y=(c-1)sin(

π

3

x-

π

3

)+c
然后向左平移1个单位可得y=(c-1)sin(

π

3

(x+1)-

π

3

)+cy=(c-1)sin

π

3

x+c，
所以f(x)=(c-1)sin

π

3

x+c，T=

2π

π 3

=6．
由于f（x）=3的所有正根依次为一个公差为3的等差数列，
即曲线y=f（x）与直线y=3的相邻交点间的距离都相等，
根据三角函数的图象与性质，直线y=3要么与曲线y=f（x）相切，
即过f（x）的最高点或最低点，要么过曲线的拐点（平衡位置点），注意到(

11

6

π，1)是图象上的最低点，
故：当y=3与曲线y=f（x）在最高点相切时，即sin

π

3

x=1，f（x）=2c-1=3，
所以c=2，此时周期应为公差3，这将与上面已知周期为6矛盾．故舍去
当y=3过曲线y=f（x）拐点（平衡位置点）时，即sin

π

3

x=0，f（x）=c=3，
此时周期为6恰为公差3的2倍，符合题意．
所以f(x)=2sin

π

3

x+3，由2kπ+

π

2

≤

π

3

x≤2kπ+

3

2

π，k∈z，
得6k+

3

2

≤x≤6k+

9

2

，k∈z，y=f（x）单调减区间[6k+

3

2

，6k+

9

2

](k∈z)，草图为：

点评：本题主要考查了辅助角公式的应用，三角函数的图象变换，三角函数与数列的综合，直线与曲线的关系等知识的综合运用，属于综合试题，要求考生具备一定的推理论证的能力．