Question

已知复数z₁=sinx+λi，z₂=m+（m-

3

cosx）i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂．
（I）若λ=0，且0＜x＜π，求x的值；
（II）设f（x）=λcosx，求f（x）的最小正周期和单调递减区间．

Answer 1

分析：（I）利用两个复数相等的充要条件求得tanx=

3

，再由 0＜x＜π 可得 x的值．
（II）由z₁=z₂ 可得 λ=sinx-

3

cosx，再利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为sin（2x-

π

3

）-

3

2

，由此求得函数 f（x）的最小正周期，由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，
k∈z，求得x的范围，即可得到f（x）的单调递减区间．

解答：解：（I）若λ=0，且0＜x＜π，由z₁=z₂ 可得 m=sinx，m-

3

cosx=0，
∴sinx-

3

cosx=0，tanx=

3

．再由 0＜x＜π 可得 x=

π

3

．
（II）由z₁=z₂ 可得 m=sinx，m-

3

cosx=λ，∴λ=sinx-

3

cosx，
∴f（x）=λcosx=（sinx-

3

cosx ）cosx=

1

2

sin2x-

3

2

(1+cos2x)=sin（2x-

π

3

）-

3

2

，
故函数 f（x）的最小正周期等于

2π

2

=π．
由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈z．
故f（x）的单调递减区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈z．

点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，化简函数的解析式为sin（2x-

π

3

）-

3

2

，是解题的关键，属于中档题．