Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极值，直线y=2x+3到曲线y=f（x）在原点处的切线所成的角为45°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．

Answer 1

（1）解：由题意有f（0）=c=0，f'（x）=3x²+2ax+b且f′（1）=3+2a+b=0
又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f′（0）=b，而直线y=2x+3到此切线所成的角为45°，
∴，解得b=-3，代入f′（1）=3+2a+b=0得a=0，
∴f（x）=x³-3x…．（6分）
（2）解：由f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）可知，f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上递增，在[-1，1]上递减．
又f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值分别为-2和2，…．（12分）
又∵sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]
∴|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤4
故m的最小值为4．…．（15分）
分析：（1）由函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，有f（0）=c=0，利用在x=1处取得极值可知f′（1）=3+2a+b=0
又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f′（0）=b，而直线y=2x+3到此切线所成的角为45°，根据到角公式可求得解得b=-3，从而可求函数的解析式；
（2）由f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）可知，f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上递增，在[-1，1]上递减，从而可得f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值分别为-2和2，根据2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，可得m的最小值．
点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值、最值．