题目内容
(本小题满分14分)已知且
,设函数
= ax2 +x-3alnx.
(I)求函数的单调区间;
(II)当a=-1时,证明:≤2x-2.
(I)的单调递增区间为(0,
)、递减区间为(
,
); (II)见解析。
解析试题分析:(I)先求出,然后再根据导数大于(小于)零,分别求出其单调增(减)区间.
(II)当a=-1时,,然后构造函数
再利用导数求g(x)的最大值,证明其最大值不大于零即可.
(I) …………………………1分
令解得
…………………3分
列表如下:
…………………6分x (0, )
( ,
)
+ -
故的单调递增区间为(0,
)、递减区间为(
,
)…………………7分
(II),a=-1时,
设………………………………9分
则……………………10分
……………………12分
而 ……………………14分
考点:导数在研究函数的单调性,极值,最值,证明不等式中的应用.
点评:利用导数求单调区间时:如果含有参数,要注意分类讨论,并且要注意函数的定义域.
证明不等式的问题可以通过构造函数,通过导数研究函数的最值证明不等式是常用的策略之一.

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