Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）的极小值；
（2）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；
（3）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x³-3ax，得f′（x）=3x²-3a，当f′（x）＞0，f′（x）＜0时，分别得到f（x）的单调递增区间、单调递减区间，由此可以得到极小值为f（1）=-2．
（2）要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，只需令直线的斜率-1小于f（x）的切线的最小值即可，也就是-1＜-3a．
（3）由已知易得g（x）为[-1，1]上的偶函数，只需求在[0，1]上的最大值F（a）．有必要对a进行讨论：①当a≤0时，f′（x）≥0，得F（a）=f（1）=1-3a；②当a≥1时，f（x）≤0，且f（x）在[0，1]上单调递减，得g（x）=-f（x），则F（a）=-f（1）=3a-1；当0＜a＜1时，得f（x）在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增．当f（1）≤0时，f（x）≤0，所以得g（x）=-f（x），F（a）=-f（

a

）=2a

a

，当f（1）＞0，需要g（x）在x=

a

处的极值与f（1）进行比较大小，分别求出a的取值范围，即综上所述求出F（a）的解析式．

解答：解：（1）∵当a=1时，f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，当f′（x）＜0，即x∈（-1，1）时，f（x）为减函数；当f′（x）＞0，即x∈（-∞，-1]，或x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．∴f（x）在（-1，1）上单调递减，在（-∞，-1]，[1，+∞）上单调递增∴f（x）的极小值是f（1）=-2
（2）∵f′（x）=3x²-3a≥-3a，∴要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，当且仅当-1＜-3a时成立，∴a＜

1

3

（3）因g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，∴g（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（ⅰ）当

a

≥1，即a≥1时，g（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当0＜

a

＜1，即0＜a＜1时，当f′（x）＞0，即x＞

a

或x＜-

a

时，f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即-

a

＜x＜

a

时，f（x）单调递减．所以f(x)在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]单调递增．
1°当f(1)=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1时，g(x)=|f(x)|=-f(x)，-f(x)在[0，

a

]上单调递增，在[

a

，1]上单调递减，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°当f(1)=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

（ⅰ）当-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

时，F(a)=f(1)=1-3a
（ⅱ）当-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

时，F(a)=-f(

a

)=2a

a

综上所述F(x)=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

点评：本题综合性较强，主要考查导数的单调性、极值、最值等函数基础知识，尤其第三小题，考查带有参数的函数题型，更是值得推敲，希望在平时，多加练习，掌握其要领．