题目内容

(2013•铁岭模拟)设函数f(x)=
1
2
x2-tx+3lnx
g(x)=
2x+t
x2-3
,已知x=a,x=b为函数f(x)的极值点(0<a<b)
(1)求函数g(x)在(-∞,-a)上的单调区间,并说明理由.
(2)若曲线g(x)在x=1处的切线斜率为-4,且方程g(x)-m=0有两个不相等的负实根,求实数m的取值范围.
分析:(1)利用导数与极值的关系即可求出;
(2)先利用导数的几何意义求出t,进而得出得出单调区间并由此画出图象即可求出.
解答:解:(1)∵f(x)=x-t+
3
x
=
x2-tx+3
x
,又x=a,x=b为函数f(x)的极值点,
∴a,b是方程x2-tx+3=0的两根,∴a+b=t,ab=3.
g(x)=-
2(x2+tx+3)
(x2-3)2
=-
2[x2+(a+b)x+3]
(x2-3)2
=-
2(x+a)(x+b)
(x2-3)2

∵0<a<b,ab=3,∴0<a<
3
<b,∴-b<-
3
<-a<0

x∈(-b,-
3
)
(-
3
,-a)
时,g(x)>0;当x∈(-∞,-b)时,g(x)<0.
∴g(x)的单调递增区间为(-b,-
3
)
(-
3
,-a)
;单调递减为(-∞,-b).
(2)由g(1)=-
2(4+t)
22
=-4,解得t=4.
∴g(x)=
2x+4
x2-3
g(x)=-
2(x+1)(x+3)
(x2-3)2

令g(x)=0,解得x=-3或-1.
当x∈(-∞,0]时,列表如图:
由表格可知:当x=-3时,g(x)取得极小值-
1
3
;当x=-1时,g(x)取得极大值-1.
由图象可知:
-
1
3
<m<0
-
4
3
≤m<-1
时,方程g(x)-m=0有两个不相等的负实根.
点评:熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值和图象是解题的关键.
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