题目内容

19.$\overrightarrow{{a}_{i}}$(i=1,2,…,n){$\overrightarrow{{a}_{n}}$}{$\overrightarrow{{a}_{n}}$}$\overrightarrow{{a}_{1}}$=(1,1)$\overrightarrow{{a}_{n}}$=(xn,yn)=$\frac{1}{2}$(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2)
(1)证明:数列{|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|}是等比数列;
(2)设θn表示向量$\overrightarrow{{a}_{n-1}}$与$\overrightarrow{{a}_{n}}$间的夹角,若bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn
(3)设cn=|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|•log2|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|,问数列{cn}中是否存在最小项?若存在,求出最小项;若不存在,请说明理由.

分析 (1)通过向量模的计算易得数列{|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|}是等比数列;
(2)通过向量数量积的运算,可得cosθn=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即得bn=$\frac{nπ}{2}-1$,Sn=$\frac{π}{4}({n}^{2}+n)-n$;
(3)易知cn=$\frac{2-n}{2}•$${2}^{\frac{2-n}{2}}$,假设数列{cn}中的第n项最小,可知0≤c2<c1,当n≥3时,通过计算可得c5<c6<c7<…,再由cn≥cn+1知c5<c4<…<c1,故得结论.

解答 (1)证明:根据题意,得$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$=$\frac{1}{2}\sqrt{({x}_{n-1}-{y}_{n-1})^{2}+({x}_{n-1}+{y}_{n-1})^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{{{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$|\overrightarrow{{a}_{n-1}}|$,
∴数列{|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|}是等比数列;
(2)解:∵cosθn=$\frac{\overrightarrow{{a}_{n-1}}•\overrightarrow{{a}_{n}}}{|\overrightarrow{{a}_{n-1}}||\overrightarrow{{a}_{n}}|}$
=$\frac{({x}_{n-1},{y}_{n-1})•\frac{1}{2}({x}_{n-1}-{y}_{n-1},{x}_{n-1}+{y}_{n-1})}{\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{{a}_{n-1}}{|}^{2}}$
=$\frac{\frac{1}{2}({{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2})}{\frac{\sqrt{2}}{2}({{x}_{n-1}}^{2}+{{y}_{n-1}}^{2})}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴θn=$\frac{π}{4}$,∴bn=$\frac{nπ}{2}-1$,
∴Sn=$(\frac{1}{2}π-1)+(\frac{2}{2}π-1)+$$…+(\frac{n}{2}π-1)$=$\frac{π}{4}({n}^{2}+n)-n$;
(3)结论:数列{cn}中存在最小项,最小项为c5=$-\frac{3}{2}•{2}^{-\frac{3}{2}}$.
理由如下:
∵$|\overrightarrow{{a}_{n}}|$=$\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}$=${2}^{\frac{2-n}{2}}$,∴cn=$\frac{2-n}{2}•$${2}^{\frac{2-n}{2}}$,
假设数列{cn}中的第n项最小,由c1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、c2=0,可知0≤c2<c1
当n≥3时,有cn<0,由cn≤cn+1,可得
$\frac{2-n}{2}•$${2}^{\frac{2-n}{2}}$≤$\frac{2-(n+1)}{2}•{2}^{\frac{2-(n+1)}{2}}$,即$\frac{2-n}{1-n}≥{2}^{-\frac{1}{2}}$,
∴$(\frac{2-n}{1-n})^{2}≥\frac{1}{2}$,∴n2-6n+7≥0,
解得$n≥3+\sqrt{2}$或$n≤3-\sqrt{2}$(舍),
∴n=5,即有c5<c6<c7<…,
由cn≥cn+1,得3≤n≤5,
又0≤c2<c1,∴c5<c4<…<c1
故数列{cn}中存在最小项,最小项为c5=$-\frac{3}{2}•{2}^{-\frac{3}{2}}$.

点评 本题考查数列和向量的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化,属于中档题.

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