题目内容
【题目】定义:设是正整数,如果对任意正整数
,当
时,即有
,那么称数列
的前
项可被数列
的第
项替换.已知数列
的前
项和是
,数列
是公比为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式(用
,
表示);
(2)已知,数列
的前
项和
满足
;
①求证:数列为等比数列,并求
的通项公式;
②若数列的前
可被数列
的前
项替换,且
的最大值为8,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)①证明见解析,
,②
【解析】
(1)依题意可得,再利用
计算可得;
(2)①由,得到
,即可得证,还需计算
;
②由题意知对一切
恒成立,即
,令
,判断
的单调性,即可得到
的取值范围.
(1)∵是公差为1的等差数列且首项为
,
∴,
∴,
当时,
,
也满足上式,
∴.
(2)①∵ ①
当时,
②
①-②得,
在①式令,得
,
∴,
故,
∴为等比数列,
.
②由题意知对一切
恒成立,
∴,即
,
令,
,
∴单调递增,
∴.
另一方面对一切
且
恒成立,
即,
,
,
∴.

【题目】某机构对某市工薪阶层的收入情况与超前消费行为进行调查,随机抽查了200人,将他们的月收入(单位:百元)频数分布及超前消费的认同人数整理得到如下表格:
月收入(百元) | ||||||
频数 | 20 | 40 | 60 | 40 | 20 | 20 |
认同超前消费的人数 | 8 | 16 | 28 | 21 | 13 | 16 |
(1)根据以上统计数据填写下面列联表,并回答是否有99%的把握认为当月收入以8000元为分界点时,该市的工薪阶层对“超前消费”的态度有差异;
月收入不低于8000元 | 月收入低于8000元 | 总计 | |
认同 | |||
不认同 | |||
总计 |
(2)若从月收入在的被调查对象中随机选取2人进行调查,求至少有1个人不认同“超前消费”的概率.
参考公式:(其中
).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】若养殖场每个月生猪的死亡率不超过,则该养殖场考核为合格,该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示:
月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 |
月养殖量/千只3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 9 | 10 | 12 |
月利润/十万元 | 3.6 | 4.1 | 4.4 | 5.2 | 6.2 | 7.5 | 7.9 | 9.1 |
生猪死亡数/只 | 29 | 37 | 49 | 53 | 77 | 98 | 126 | 145 |
(1)从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月,求恰好有2个月考核获得合格的概率;
(2)根据1月到8月的数据,求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.001).
(3)预计在今后的养殖中,月利润与月养殖量仍然服从(2)中的关系,若9月份的养殖量为1.5万只,试估计:该月利润约为多少万元?
附:线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下:
,
参考数据:.