题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c（Ⅰ）当b=1时，若函数f（x）在（0，1]上为增函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于原点O对称，在点P（x0，f（x0））处的切线为l，l与函数f（x）的图象交于另一点Q（x1，y1）．若P，Q在x轴上的射影分别为P1、Q1，
| OQ1 |
| OP1 |
分析：（Ⅰ）由函数f（x）在（0，1]上为增函数，则导数大于等于零在（0，1]上恒成立，再转化为最值法求解．
（Ⅱ）由已知可得函数为奇函数，可求得a，c，再由“在点P（x0，f（x0））处的切线为l”确定切线方程，与函数f（x）联立得x3+bx-[（3x02+b）（x-x0）+y0]=0．再由y0=f（x0）=x03+bx0，消元解得x0．再代入
=λ
，求解结果．
（Ⅱ）由已知可得函数为奇函数，可求得a，c，再由“在点P（x0，f（x0））处的切线为l”确定切线方程，与函数f（x）联立得x3+bx-[（3x02+b）（x-x0）+y0]=0．再由y0=f（x0）=x03+bx0，消元解得x0．再代入
| OQ1 |
| OP1 |
解答：解：（Ⅰ）∵b=1，∴f'（x）=3x2+2ax+1．
又因为函数f（x）在（0，1]上为增函数，
∴3x2+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等价于a≥-(
x+
)在（0，1]上恒成立．
又∵-(
x+
)≤-2
=-
，
故当且仅当x=
时取等号，而
∈(0，1]，∴a的最小值为-
．（6分）
（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x3+ax2+bx+c为奇函数，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x3+bx，（7分）∴f'（x）=3x2+b．
∵切点为P（x0，y0），其中y0=f（x0），
则切线l的方程为：y=（3x02+b）（x-x0）+y0（8分）
由
，得x3+bx-[（3x02+b）（x-x0）+y0]=0．
又y0=f（x0）=x03+bx0，∴x3-x03+b（x-x0）-（3x02+b）（x-x0）=0，
∴（x-x0）（x2+x0x-2x02）=0，∴（x-x0）2（x+2x0）=0，∴x=x0或x=-2x0，
由题意知，x0≠0从而x1=-2x0．
∵
=λ
，
∴x1=λx0，
∴λ=-2．（12分）
又因为函数f（x）在（0，1]上为增函数，
∴3x2+2ax+1≥0在（0，1]上恒成立，等价于a≥-(
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2x |
又∵-(
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2x |
|
| 3 |
故当且仅当x=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3 |
（Ⅱ）由已知得：函数f（x）=x3+ax2+bx+c为奇函数，
∴a=0，c=0，∴f（x）=x3+bx，（7分）∴f'（x）=3x2+b．
∵切点为P（x0，y0），其中y0=f（x0），
则切线l的方程为：y=（3x02+b）（x-x0）+y0（8分）
由
|
又y0=f（x0）=x03+bx0，∴x3-x03+b（x-x0）-（3x02+b）（x-x0）=0，
∴（x-x0）（x2+x0x-2x02）=0，∴（x-x0）2（x+2x0）=0，∴x=x0或x=-2x0，
由题意知，x0≠0从而x1=-2x0．
∵
| OQ1 |
| OP1 |
∴x1=λx0，
∴λ=-2．（12分）
点评：本题主要通过单调性的应用来考查恒成立问题，这类问题往往又要转化为单调性求新函数最值来解决，还考查了导数的几何意义，来解决直线与曲线的位置关系．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|