Question

已知函数f（x）=|2^|x-1|-2|，关于x的方程f²（x）-2f（x）+k=0，下列四个命题中是假命题的是（　　）

A．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根

B．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根

C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根

D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根

Answer 1

分析：利用换元t=f（x）将方程f²（x）-2f（x）+k=0，化为t²-2t+k=0，根据绝对值的性质t≥0，利用函数f（t）=t²-2t+k的对称轴为x=1这一性质，找去合适的t值，从而得到相应的k值，使其满足题设要求，一步一步进行讨论，从而求解．

解答：解：设t=f（x），则方程f²（x）-2f（x）+k=0化为t²-2t+k=0，∵f（x）=|2^|x-1|-2|，
∴t=f（x）≥0
对方程，△=4-4k
若k＜1，△＞0，此时方程有两个根，
若k=1，△=0，方程有一个根，
若k＞1，则方程无根，
当k=-3时，得t=3或t=-1（舍去），由于t=f（x）=|2^|x-1|-2|，解得x有二个根，故A正确；
当k=0时，得f（x）=0或f（x）=2，解得x有4个解，故B正确；
当t1=

1

2

，t2=

3

2

时，存在实数k=

3

4

，使得方程恰有6个不同的实根，故C答案正确；
因为函数g（t）=t²-2t+k图象关于t=1对称，如果方程t²-2t+k=0，有两异根，则定有一根大于1，一根小于1，其中大于1的根t，代入
t=f（x）=|2^|x-1|-2|只能解出两个根，故不能使得方程恰有8个不同的实根；
故选D．

点评：此题考查一元二次方程根的存在问题，把函数与方程结合起来，进行换元，再根据绝对值的性质判断根的个数，加大了试题的难度．