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精英家教网桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式.
某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块占地
1800平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土
堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围
宽均为2米,如图所示,池塘所占面积为S平方米,其中a:b=1:2.
(1)试用x,y表示S;
(2)若要使S最大,则x,y的值各为多少?
分析:(1)由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块,我们可得xy=1800,结合图形还易得b=2a,及y=a+b+6=3a+6,由此我们易将池塘所占面积S表示为变量x,y的函数.
(2)要求S的最大值,我们有三种思路:①根据xy=1800,直接使用基本不等式;②根据xy=1800,消元后再使用基本不等式;③根据xy=1800,消元后利用导数判断函数的单调性,再求最大值.
解答:解:(1)由题可得:xy=1800,b=2a,
则y=a+b+6=3a+6,
即a=
y-6
3

S=(x-4)a+(x-6)×b=(3x-16)
y-6
3

=1832-6x-
16
3
y(x>0).
(2)法一:S=1832-6x-
16
3
y≤1832-2
6x×
16
3
y

=1832-480=1352,
当且仅当6x=
16
3
y,即x=40,y=45时,S取得最大值1352.
法二:S=1800-6x-
16
3
×
1800
x
+32=1832-(6x+
9600
x
)≤1832-2
6x
9600
x

=1832-480=1352,
当且仅当6x=
9600
x
,即x=40时取等号,S取得最大值.
此时y=
1800
x
=45.
法三:设S=f(x)=1832-(6x+
9600
x
)(x>0)
f′(x)=
9600
x2
-6=
6(40-x)(40+x)
x2

令f′(x)=0,得x=40.
当0<x<40时,f′(x)>0;当x>40时,f′(x)<0.
∴当x=40时,S取得最大值,此时y=45.
点评:函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.
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