Question

已知数列是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，且满足，其中.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若数列与数列有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求数列的通项公式；

（Ⅲ）记（Ⅱ）中数列的前项之和为，求证：

.

Answer 1

（Ⅰ）由题设.                               （1分）

由已知，所以.又b＞0，所以a＜3.    （2分）

因为，则.又a＞0，所以b＞2，从而有.      （3分）

因为，故.                                                      （4分）

（Ⅱ）设，即.                             （5分）

因为，则，所以.                    （6分）

因为，且b∈N*，所以，即，且b＝3.          （7分）

故.                                                         （8分）

（Ⅲ）由题设，.                           （9分）

当时，，当且仅当时等号成立，所以.                                      （11分）

于是.   （12分）

因为S₁＝3，S₂＝9，S₃＝21，则

.                                (13分)