题目内容
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=1，C=
．
（1）若cos（θ+C）=
，0＜θ＜π，求cosθ；
（2）若sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．
| π |
| 3 |
（1）若cos（θ+C）=
| 3 |
| 5 |
（2）若sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面积．
分析：（1）根据题意，得出sin（θ+C）=sin（θ+
）=
．结合配角θ=（θ+
）-
利用两角差的余弦公式，即可算出的值．
（2）利用sinC=sin（A+B），结合两角和与差的正弦公式化简整理，得cosB（sinA-3sinB）=0，从而cosB=0或sinA=3sinB．再分cosB=0和a=3b两种情况加以讨论，即可分别求出两种情况下△ABC的面积S．
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）利用sinC=sin（A+B），结合两角和与差的正弦公式化简整理，得cosB（sinA-3sinB）=0，从而cosB=0或sinA=3sinB．再分cosB=0和a=3b两种情况加以讨论，即可分别求出两种情况下△ABC的面积S．
解答：解：（1）∵0＜θ＜π，C=
，cos（θ+C）=
，
∴可得θ+C=θ+
是锐角，sin（θ+C）=sin（θ+
）=
∴cosθ=cos[（θ+
）-
]=
×
+
×
=
即cosθ=
…（6分）
（2）∵A+B=π-C，可得sinC=sin（A+B）
∴由sinC+sin（A-B）=3sin2B，得sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，
即2sinAcosB=6sinBcosB，可得cosB（sinA-3sinB）=0
∴cosB=0或sinA=3sinB
①cosB=0，得B=
，结合C=
得A=
∴a=
，b=
△ABC的面积S=
absinC
…..（4分）
②若sinA=3sinB，则a=3b，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得1=10b2-6b2cos
即7b2=1，解之得b=
，从而a=
△ABC的面积S=
absinC=
…（4分）
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴可得θ+C=θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
∴cosθ=cos[（θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
4
| ||
| 10 |
即cosθ=
4
| ||
| 10 |
（2）∵A+B=π-C，可得sinC=sin（A+B）
∴由sinC+sin（A-B）=3sin2B，得sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，
即2sinAcosB=6sinBcosB，可得cosB（sinA-3sinB）=0
∴cosB=0或sinA=3sinB
①cosB=0，得B=
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴a=
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 6 |
②若sinA=3sinB，则a=3b，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得1=10b2-6b2cos
| π |
| 3 |
即7b2=1，解之得b=
| ||
| 7 |
3
| ||
| 7 |
△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
3
| ||
| 28 |
点评：本题给出三角形的一边和其对角，在已知等式的情况下求三角形的面积．着重考查了和与差的三角函数公式、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．
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