题目内容
已知A、B、C、D四个城市，它们各自有一个著名的旅游点，依次记为a，b，c，d，把A，B，C，D和a，b，c，d左、右两列．现在一名旅游爱好者随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来，构成“一一对应”规定某城市与自身的旅游点相连称为“连对”否则称为“连错”，连对一条得2分，连错一条得0分．
（I）求该旅游爱好者得2分的概率；
（II）求所得分数ξ的分布列和数学期望．
（I）求该旅游爱好者得2分的概率；
（II）求所得分数ξ的分布列和数学期望．
分析：（I）随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来的全排列为
，该旅游爱好者得2分有
×2种情形，最后根据古典概率的概率公式解之即可；
（II）ξ的可能取值为0，2，4，8，然后根据古典概型的概率计算公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
| A | 4 4 |
| C | 1 4 |
（II）ξ的可能取值为0，2，4，8，然后根据古典概型的概率计算公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（I）随机用4条线把城市与旅游点全部连接起来的全排列为
，
该旅游爱好者得2分有
×2种情形
∴该爱好者得2分的概率为P=
=
（II）答对题的个数为y，得分为ξ，ξ的可能取值为0，2，4，8
P（ξ=0）=
=
，P（ξ=2）=
=
P（ξ=4）=
=
，P（ξ=8）=
=
ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为Eξ=0×
+2×
+4×
+8×
=2
| A | 4 4 |
该旅游爱好者得2分有
| C | 1 4 |
∴该爱好者得2分的概率为P=
| ||
|
| 1 |
| 3 |
（II）答对题的个数为y，得分为ξ，ξ的可能取值为0，2，4，8
P（ξ=0）=
| 9 | ||
|
| 3 |
| 8 |
| ||
|
| 1 |
| 3 |
P（ξ=4）=
| ||
|
| 1 |
| 4 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| 24 |
ξ的分布列为
| ξ | 0 | 2 | 4 | 8 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 24 |
点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，以及离散型随机变量及其分布列和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．
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