题目内容

已知a>0,函数f(x)=+lnx

(Ⅰ)试问f(x)在[1,+∞)上能否是单调递减函数?请说明理由.

(Ⅱ)若f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,试求实数a的取值范围.

(Ⅲ)当a=1时,设数列{}的前n项和为Sn,求证:Sn-1<f(n)<Sn-1(n∈N*且n≥2).

解:(Ⅰ)∵f′(x)=  当a>0,x∈[1,+∞)不能保证>0或<0恒成立,说明了y=f(x)不是—个单调函数.

(Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)是单调递增函数,则f′(x)≥0恒成立,即a≥恒成立.

即a≥()max,∵x∈[1,+∞),∴≤l,∴a≥1 

(Ⅲ)当a=1时,由(Ⅱ)知:f(x)=+lnx在[1,+∞)上为增函数,

∵f(n)+lnx=lnx

又∵当x>1时,f(x)>f(1),∴+lnx>0,即lnx>l

令g(x)=x-1-lnx,则有g′(x)=1,当x∈(1,+∞),有g′(x)>0

从而可以知道,函数g(x)在[1,+∞)上是递增函数,所以有g(x)>g(1)=0,即得c-1>1nx.

综上有:1<lnx<x-1,(x>1),

;

令x=1,2,…,n-1,(n∈N*且n≥2)时,

不等式也成立,于是代入,

将所得各不等式相加,得

.

即∴Sn-1<f(n)<Sn-1(n∈N*且n≥2)。

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