题目内容
已知a>0,函数f(x)=
(Ⅰ)试问f(x)在[1,+∞)上能否是单调递减函数?请说明理由.
(Ⅱ)若f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,试求实数a的取值范围.
(Ⅲ)当a=1时,设数列{}的前n项和为Sn,求证:Sn-1<f(n)
<Sn-1(n∈N*且n≥2).
解:(Ⅰ)∵f′(x)= 当a>0,x∈[1,+∞)不能保证
>0或<0恒成立,说明了y=f(x)不是—个单调函数.
(Ⅱ)若f(x)在x∈[1,+∞)是单调递增函数,则f′(x)≥0恒成立,即a≥恒成立.
即a≥()max,∵x∈[1,+∞),∴
≤l,∴a≥1
(Ⅲ)当a=1时,由(Ⅱ)知:f(x)=+lnx在[1,+∞)上为增函数,
∵f(n)+lnx
=lnx
又∵当x>1时,f(x)>f(1),∴+lnx>0,即lnx>l
令g(x)=x-1-lnx,则有g′(x)=1,当x∈(1,+∞),有g′(x)>0
从而可以知道,函数g(x)在[1,+∞)上是递增函数,所以有g(x)>g(1)=0,即得c-1>1nx.
综上有:1<lnx<x-1,(x>1),
∴;
令x=1,2,…,n-1,(n∈N*且n≥2)时,
不等式也成立,于是代入,
将所得各不等式相加,得
即.
即∴Sn-1<f(n)<Sn-1(n∈N*且n≥2)。

练习册系列答案
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已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
A、?x∈R,f(x)≤f(x0) | B、?x∈R,f(x)≥f(x0) | C、?x∈R,f(x)≤f(x0) | D、?x∈R,f(x)≥f(x0) |