Question

（本小题满分12分）

在如图所示的四棱锥中，已知 PA⊥平面ABCD， ， ，，

为的中点．

（1）求证：MC∥平面PAD；

（2）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；

（3）求二面角的平面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

(1)根据中位线性质，得到EM//AB,且EM= AB. 又因为，且，所以EM//DC，且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形, 则MC∥DE，

(2)(3)

【解析】

试题分析：（1 ）如图，取PA的中点E，连接ME，DE，∵M为PB的中点，

∴EM//AB,且EM= AB. 又∵，且，

∴EM//DC，且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形,

则MC∥DE，又平面PAD, 平面PAD

所以MC∥平面PAD

（2）取PC中点N，则MN∥BC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC ，

又,∴BC⊥平面PAC，

则MN⊥平面PAC所以，为直线MC与平面PAC所成角，

（3）取AB的中点H，连接CH，则由题意得

又PA⊥平面ABCD，所以，则平面PAB.

所以,过H作于G,连接CG，则平面CGH,所以

则为二面角的平面角.

则，

故二面角的平面角的正切值为

考点：本试题考查了线面角和二面角的求解运用。

点评：解决该试题的关键是能利用线面角和二面角的定义，准确的表示角，借助于三角形的知识来求解得到，也可以建立空间直角坐标系来运用空间向量法来得到求解，属于中档题。