Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆x²+3y²=1上的两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）设

m

=(x1，

3

y1)，

n

=(x2，

3

y2)且

m

•

n

=0，

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

（θ∈R）．求证：点M在椭圆上；
（Ⅱ）若

OA

•

OB

=0，求|

OA

|+|

OB

|的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x₀，y₀），根据条件

m

=(x1，

3

y1 )，

n

=(x2，

3

y2)且

m

•

n

=0，

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

可求得x₀²+3y₀²=1，从而可证得结论；
（Ⅱ）设|OA|=p，|OB|=q，∠xOA=α，可求得A，B两点的坐标，代入x²+3y²=1，可整理得

1

p2

+

1

q2

=4，应用基本不等式可求得pq≥

1

2

，从而|OA|+|OB|=p+q≥2

pq

，问题解决．

解答：证明：（Ⅰ）∵

m

=(x1，

3

y1)，

n

=(x2，

3

y2)且

m

•

n

=0，
∴x₁x₂+3y₁y₂=0，
又

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

，
设M（x₀，y₀），则（x₀，y₀）=（x₁cosθ，y₁cosθ）+（x₂sinθ，y₂sinθ）=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ），
则x₀²+3y₀²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+3（y₁cosθ+y₂sinθ）²=（x₁²+3y₁²）cos²θ+（x₂²+3y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+3y₁y₂）
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆x²+3y²=1上的两点，
∴x₁²+3y₁²=1，x₂²+3y₂²=1，又x₁x₂+3y₁y₂=0，
∴（x₁²+3y₁²）cos²θ+（x₂²+3y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+3y₁y₂）=cos²θ+sin²θ=1．故点M在椭圆上．
（Ⅱ）设|OA|=p，|OB|=q，∠xOA=α，
则A(pcosα，psinα)，B(qcos(

π

2

+α)，qsin(

π

2

+α))
则

p2cos2α+3p2sin2α=1 q2cos2( π 2 +α)+3q2sin2( π 2 +α)=1

即

cos2α+3sin2α= 1 p2 sin2α+3cos2α= 1 q2

从而

1

p2

+

1

q2

=4，
故p2+q2=4p2q2≥2pq，pq≥

1

2

．
∴|OA|+|OB|=p+q≥2

pq

≥

2

．
|

OA

|+|

OB

|的最小值为

2

．

点评：本题考查椭圆的参数方程，难点在于解题思路的突破及基本不等式的灵活运用，属于难题．