题目内容
已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(a,b,c,d,∈R)是定义在R上的奇函数,且f(x)在x=
处取得极小值-
.设f′(x)表示f(x)的导函数,定义数列{an}满足:an=f′(
)+2(n∈N*)).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)对任意m,n∈N*,若m≤n,证明:1+
≤(1+
)m<3;
(Ⅲ)(理科)试比较(1+
)m+1与(1+
)m+2的大小.
2 |
4
| ||
3 |
n |
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)对任意m,n∈N*,若m≤n,证明:1+
m |
an |
1 |
an |
(Ⅲ)(理科)试比较(1+
1 |
an |
1 |
an+1 |
分析:(Ⅰ)根据函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(a,b,c,d,∈R)是定义在R上的奇函数,可得f(-x)=-f(x),从而a=c=e=0,再利用f(x)在x=
处取得极小值-
,建立方程组,即可求得函数解析式,利用an=f′(
)+2,可得数列{an}的通项公式an;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1+
≤(1+
)m<3等价于1+
≤(1+
)m<3,利用二项展开式,及放缩法可得结论;
(Ⅲ)解:(1+
)n+1>(1+
)n+2等价于(n+1)ln(1+
)>(n+1+1)ln(1+
),构造函数f(x)=(x+1)ln(1+
)(x≥1),则上式等价于证f*n)>f(n+1)成立,求导函数,求得函数的单调性,即可得到结论.
2 |
4
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3 |
n |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1+
m |
an |
1 |
an |
m |
n |
1 |
n |
(Ⅲ)解:(1+
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
x |
解答:(Ⅰ)解:f′(x)=4ax3+3bx2+2cx+d,
∵函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(a,b,c,d,∈R)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴ax4-bx3+cx2-dx+e=-(ax4+bx3+cx2+dx+e),∴a=c=e=0
∴f(x)=bx3+dx,f′(x)=3bx2+d,
∵f(x)在x=
处取得极小值-
∴
,∴
,∴b=
,d=-2
∴f(x)=
x3-2x,∴f′(x)=x2-2,
∴an=f′(
)+2=n;
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知1+
≤(1+
)m<3等价于1+
≤(1+
)m<3.
因为(1+
)m≥
+
×
=1+
(当m=1时取等号).
又m≤n,∴(1+
)m≤(1+
)n=1+
×
+…+
×
<1+1+
+…+
<1+1+
+…+
<3
(Ⅲ)解:(1+
)n+1>(1+
)n+2等价于(n+1)ln(1+
)>(n+1+1)ln(1+
),
构造函数f(x)=(x+1)ln(1+
)(x≥1),则上式等价于证f*n)>f(n+1)成立,所以f′(x)=ln(1+
)-
.
又令g(t)=ln(1+t)-t(t>0),则g′(t)=
-1<0当t>0时成立,即得g(t)在(0,+∞)上单调递减,
于是g(t)<g(0)=0成立,即ln(1+t)-t<0,即ln(1+t)<t(t>0)成立,
故ln(1+
)<
成立.
所以f′(x)=ln(1+
)-
<0,由此知f(x)单调递减,所以f(n)>f(n+1),
所以(1+
)n+1>(1+
)n+2,
所以(1+
)m+1>(1+
)m+2.
∵函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(a,b,c,d,∈R)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),∴ax4-bx3+cx2-dx+e=-(ax4+bx3+cx2+dx+e),∴a=c=e=0
∴f(x)=bx3+dx,f′(x)=3bx2+d,
∵f(x)在x=
2 |
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3 |
∴
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|
1 |
3 |
∴f(x)=
1 |
3 |
∴an=f′(
n |
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知1+
m |
an |
1 |
an |
m |
n |
1 |
n |
因为(1+
1 |
n |
C | 0 m |
C | 1 m |
1 |
n |
m |
n |
又m≤n,∴(1+
1 |
n |
1 |
n |
C | 1 n |
1 |
n |
C | n n |
1 |
nn |
1 |
2! |
1 |
n! |
1 |
2 |
1 |
2n-1 |
(Ⅲ)解:(1+
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
构造函数f(x)=(x+1)ln(1+
1 |
x |
1 |
x |
1 |
x |
又令g(t)=ln(1+t)-t(t>0),则g′(t)=
1 |
1+t |
于是g(t)<g(0)=0成立,即ln(1+t)-t<0,即ln(1+t)<t(t>0)成立,
故ln(1+
1 |
x |
1 |
x |
所以f′(x)=ln(1+
1 |
x |
1 |
x |
所以(1+
1 |
n |
1 |
n+1 |
所以(1+
1 |
an |
1 |
an+1 |
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查不等式的证明,考查放缩法的运用,难度较大.
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