题目内容
已知直线x-2y+1=0与圆
(a,b∈R)有交点,则a2+b2-2a+2b+1的最小值是
- A.
- B.
- C.
- D.
B
分析:设 k=a2+b2-2a+2b+1,则 (a-1)2+(b+1)2=k+1,故k+1 表示圆心C(a,b)到点A(1,-1)的距离的平方,因此要求k的最小值,只需求满足题目条件的点C(a,b)与
点A(1,-1)的最短距离AC,AC的最小值等于点A(1,-1)到直线x-2y+1=0的距离减去半径,进而求出AC2的最小值,从而得到k的最小值.
解答:∵圆
的圆心为C(a,b),半径等于
.
设 k=a2+b2-2a+2b+1=(a-1)2+(b+1)2-1,则 (a-1)2+(b+1)2=k+1,
故k+1表示圆心C(a,b)到点A(1,-1)的距离的平方,因此要求k的最小值,只需求满足题目条件的点C(a,b)与点A(1,-1)的最短距离AC.
故当AC和直线x-2y+1=0垂直时,AC最短,此时,AC的最小值等于点A(1,-1)到直线x-2y+1=0的距离减去半径,
即
-
=
.
故k+1的最小值为
=
,
∴k 的最小值等于
-1=
.
故选B.
点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公式的应用,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题.
分析:设 k=a2+b2-2a+2b+1,则 (a-1)2+(b+1)2=k+1,故k+1 表示圆心C(a,b)到点A(1,-1)的距离的平方,因此要求k的最小值,只需求满足题目条件的点C(a,b)与
点A(1,-1)的最短距离AC,AC的最小值等于点A(1,-1)到直线x-2y+1=0的距离减去半径,进而求出AC2的最小值,从而得到k的最小值.
解答:∵圆


设 k=a2+b2-2a+2b+1=(a-1)2+(b+1)2-1,则 (a-1)2+(b+1)2=k+1,
故k+1表示圆心C(a,b)到点A(1,-1)的距离的平方,因此要求k的最小值,只需求满足题目条件的点C(a,b)与点A(1,-1)的最短距离AC.
故当AC和直线x-2y+1=0垂直时,AC最短,此时,AC的最小值等于点A(1,-1)到直线x-2y+1=0的距离减去半径,

即



故k+1的最小值为


∴k 的最小值等于


故选B.
点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公式的应用,体现了转化和数形结合的数学思想,属于中档题.

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