题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)若,均有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 增区间是,减区间是
,函数
有极小值为
;(2)
.
【解析】试题分析:I)先求函数的导函数f′(x),再解不等式f′(x)>0,得函数的单调增区间,解不等式f′(x)<0得函数的单调减区间,最后由极值定义求得函数极值
(II)构造新函数,将恒成立问题转化为求新函数的最大值问题,利用导数先求此函数的单调区间,再确定其最大值,最后解不等式求得实数a的取值范围
试题解析:
由题意,
,
(Ⅰ)由得
,函数
的单调增区间是
;
由得
,函数
的单调减区间是
∴当时,函数
有极小值为
(Ⅱ)法一,由于,均有
,
即,
恒成立,
∴,
,
由(Ⅰ),函数极小值即为最小值,
∴,解得
.
法二,因为,所以不等式等价于
,即
设,则
,
而,
显然当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减,
所以函数的最大值为
,
由不等式恒成立可得,解得
.
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练习册系列答案
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时间 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
车流量 | 50 | 51 | 54 | 57 | 58 |
| 69 | 70 | 74 | 78 | 79 |
(1)请根据上述数据,在下面给出的坐标系中画出散点图;
(2)试判断与
是否具有线性关系,若有请求出
关于
的线性回归方程
,若没有,请说明理由;
(3)若周六同一时间段的车流量为60万辆,试根据(2)得出的结论,预报该时间段的的浓度(保留整数).
参考公式:
,
.