Question

已知抛物线C：y²＝2px(p＞0)的准线与直线l：y＝k(x＋2)(k≠0)的交点M在x轴上，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N(t，0)．

(Ⅰ)求抛物线C的方程；

(Ⅱ)求实数t的取值范围；

(Ⅲ)若抛物线C的焦点和准线分别为椭圆Q的左焦点和左准线，试求椭圆Q的短轴端点的轨迹方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)∵准线与直线l交点在x轴上，交点为，且直线过定点

　　∴，即

　　∴抛物线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　4分;

　　(Ⅱ)由得

　　　　∴且　　　　　　　　　5分

　　　　　　　　　　　　　　　　6分

　　∴的中垂线方程为，令，得　　7分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分;

　　(Ⅲ)∵抛物线焦点F(2，0)，准线，∴是抛物线的左准线

　　设Q的中心为，则短轴端点为　　　　　　　10分

　　∵F为左焦点，则，　　∴

　　依左准线方程有　　　　　　　　　　　　　　12分

　　　　即　　　　　　　14分