Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面AEF，则线段A₁P长度的取值范围是（　　）

• A．[1，

  5

  2

  ]
• B．[

  3 2

  4

  ，

  5

  2

  ]
• C．[

  5

  2

  ，

  2

  ，]
• D．[

  2

  ，

  3

  ]

Answer 1

分析：分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，易证平面A₁MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A₁P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．

解答：解：如下图所示：
分别取棱BB₁、B₁C₁的中点M、N，连接MN，连接BC₁，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC₁，EF∥BC₁，
∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，
∴MN∥平面AEF；
∵AA₁∥NE，AA₁=NE，∴四边形AENA₁为平行四边形，
∴A₁N∥AE，又A₁N?平面AEF，AE?平面AEF，
∴A₁N∥平面AEF，
又A₁N∩MN=N，∴平面A₁MN∥平面AEF，
∵P是侧面BCC₁B₁内一点，且A₁P∥平面AEF，
则P必在线段MN上，
在Rt△A₁B₁M中，A1M=

A1B12+B1M2

=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
同理，在Rt△A₁B₁N中，求得A₁N=

5

2

，
∴△A₁MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A₁P⊥MN，此时A₁P最短，P位于M、N处时A₁P最长，
A1O=

A1M2-OM2

=

( 5 2 )2-( 2 4 )2

=

3 2

4

，
A₁M=A₁N=

5

2

，
所以线段A₁P长度的取值范围是[

3 2

4

，

5

2

]．
故选B．

点评：本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．