Question

7．已知函数f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）的解析式，画出函数的f（x）的图象，数形结合求得不等式f（x）＜4的解集．
（2）由条件利用绝对值的意义求得g（a）的最小值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2|x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+5，x＜1}\\{x+1，1≤x≤3}\\{3x-5，x＞3}\end{array}\right.$，
由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（$\frac{1}{3}$，3）．
（2）函数f（x）=|x-1|+|x-3|+|x-a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，
可得f（x）的最小值为g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，a＜1}\\{2，1≤a≤3}\\{a-1，a＞3}\end{array}\right.$，故g（a）的最小值为2．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．