Question

如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）CF∥平面ADE；
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ABE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据结构特征，建立如图所示坐标系，先求得相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，最后用向量的夹角公式求解即可．
（Ⅱ）要证平面ADE⊥平面ABE，只需证明平面ADE内的直线DG，垂直平面ABE即可．

解答：解：（Ⅰ）建立如图所示坐标系，设CD=1，则B（0，0，0），D（0，2，1），C（0，2，0），E（

3

，1，0）
∴

BD

=(0，2，1)，

CE

 =(

3

，-1，0)
∴cos＜ 

BD

， 

CE

＞=

5

5

（II）证明：取BE的中点F、AE的中点G，连接FG，GD，CF
∴GF=

1

2

AB，GF∥AB
∵DC=

1

2

AB，CD∥AB
∴CD∥GF CD=GF
∴CFGD是平行四边形
∴CF∥DG
∵CF⊥BF，CF⊥AB
∴CF⊥平面ABE
∴DG⊥平面ABE
∵DG?平面ADE
∴平面ABE⊥平面ADE

点评：本题主要考查异面直线所成的角，平面与平面垂直的判定，同时，还考查了转化思想，运算能力以及空间想象能力，逻辑思维能力，属中档题．