Question

【题目】过点(0,4)，斜率为－1的直线与拋物线y2＝2px(p＞0)交于两点A，B，如果OA⊥OB(O为原点)，求拋物线的标准方程及焦点坐标．

Answer 1

【答案】拋物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)

【解析】

根据题设条件求出直线的点斜式方程，再联立直线与抛物线方程，求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再根据OA⊥OB，可先设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据向量垂直的坐标运算可得x1x2＋y1y2＝0，结合所求韦达定理，整体代换，即可求解参数p，进而求得抛物线标准方程

直线方程为y＝－x＋4.

由消去y得x2－2(p＋4)x＋16＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(p＋4)，x1x2＝16，Δ＝4(p＋4)2－64＞0.

所以y1y2＝(－x1＋4)(－x2＋4)＝－8p.

由已知OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，从而16－8p＝0，解得p＝2.

所以拋物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．