题目内容
【题目】已知函数 ,且
.
(Ⅰ)设 ,求
的单调区间及极值;
(Ⅱ)证明:函数 的图象在函数
的图象的上方.
【答案】解:(Ⅰ)解:由 ,所以
,解得
,
又 得
,所以
,
于是 ,则
,由
,
故答案为: 的递增区间
,递减区间
,
当 时,
.
(Ⅱ)证明:“函数 的图象在函数
的图象的上方”等价于“
”,即要证:
,又
,
所以只要证 .
由(Ⅰ)得 ,即
(当且仅当
时等号成立),
所以只要证明当 时,
即可.
设 =
,
所以 ,令
,解得
,
由 得
,所以
在
上为增函数,
所以 =0,即
,
所以 ,故函数
的图象在函数
的图象的上方.
【解析】(1)利用已知条件得到关于a,b的方程组,求a,b。再用导函数求函数的单调区间和极值.
(2)先找到直线在函数的图象上方,转化为证明不等式成立,用分析法得到等价的不等式,再转化为构造的函数h(x)的最小值大于0即可.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某化工厂为预测产品的回收率 ,需要研究它和原料有效成分含量
之间的相关关系,现收集了4组对照数据。
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(Ⅰ)请根据相关系数 的大小判断回收率
与
之间是否存在高度线性相关关系;
(Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 关于
的线性回归方程
,并预测当
时回收率
的值.
参考数据:
1 | 0 | 其他 | |||
| 完全相关 | 不相关 | 高度相关 | 低度相关 | 中度相关 |
,
【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区 的年平均浓度不得超过3S微克/立方米,
的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某市环保局随机抽取了一居民区2016年20天
的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如图表:
组别 |
| 频数(天) | 频率 |
第一组 | 3 | 0.15 | |
第二组 | 12 | 0.6 | |
第三组 | 3 | 0.15 | |
第四组 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)将这20天的测量结果按表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.
(ⅰ)求图中 的值;
(ⅱ)在频率分布直方图中估算样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从 的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
(Ⅱ)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区 的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为
,求
的分布列和数学期望.