Question

已知F是椭圆5x²+9y²=45的右焦点，P为该椭圆上的动点，A（2，1）是一定点．
（1）求的最小值，并求相应点P的坐标；
（2）求|PA|+|PF|的最大值与最小值；
（3）过点F作倾斜角为60°的直线交椭圆于M、N两点，求|MN|；
（4）求过点A且以A为中点的弦所在的直线方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得：=，进而根据椭圆的第二定义可得：过A作右准线的垂线，交与B点，则的最小值为|AB|，即可得到答案．
（2）根据椭圆的第一定义：|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|，结合图形可得||PA|-|PF₂||≤|AF₂|=1⇒-1≤|PA|-|PF₂|≤1，即可解决问题．
（3）设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程利用由弦长公式可得答案．
（4）设出直线方程代入椭圆的方程进行化简，再结合根与系数的关系可得答案．
解答：解：（1）由题意可得：e=
所以 =，
∴根据椭圆的第二定义：过A作右准线的垂线，交与B点，则的最小值为|AB|，
∵|AB|=
∴，的最小值，并且P（）．
（2）根据椭圆的第一定义：|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|
如图所示：因为||PA|-|PF₂||≤|AF₂|=1⇒-1≤|PA|-|PF₂|≤1，
所以5＜6+|PA|-|PF₂|＜7，即5＜|PA|+|PF₁|＜7，
所以PA|+|PF|的最大值与最小值分别为5，7．
（3）由题意可得：直线方程为，
联立直线与椭圆的方程可得：32x²-108x+63=0，
所以_x1+x2=，x₁•x₂=，
由弦长公式可得：|MN|==．
（4）由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-1=k（x-2），
代入椭圆的方程化简得：（5+9k²）x²+18k（1-2k）x+9（1-2k）²-45=0，
因为A为弦的中点，
所以x₁+x₂=4，即=4，解得k=，
所以以A为中点的弦所在的直线方程为10x+9y-29=0．
点评：本题主要考查了椭圆的应用以及椭圆中线段的最值问题，求解时要充分利用椭圆的定义可使得解答简洁，并且还考查了弦长问题与弦中点问题．