Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（3）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）解析式中有两个参数，故需要得到两个方程求参数，由于函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，由极值存在的条件恰好可以得到两个关于参数的两个方程，由此解析式易求．
（2）欲证对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，可以求出函数在区间[-1，1]上的最值，若最大值减去最小值的差小于等于4，则问题得到证明，故问题转化为研究函数在区间[-1，1]上的单调性求最值的问题．
（3）由于点A（1，m）（m≠-2），验证知此点不在函数图象上，可设出切点坐标M（x₀，y₀），然后用两种方式表示出斜率，建立关于切点横坐标的方程2x₀³-3x₀²+m+3=0，再借助函数的单调性与极值确定其有三个解的条件即可．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f′（1）=f′（-1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x
（2）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|
|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4
（3）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲线方程为y=x³-3x，∴点A（1，m）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），切线的斜率为3(

x

2 0

-1)=

x 3 0 -3 x   0 -m

x   0 -1

（左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），
整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数所满足的条件
设g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，则g′（x₀）=6x₀²-6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．
∴函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的极值点为x₀=0，x₀=1
∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是

g(0)＞0 g(1)＜0

，解得-3＜m＜-2．
故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2．

点评：本题考点是利用导数研究函数的单调性，考查了函数极值存在的条件，利用导数求函数最值的方法以及导数研究函数在某点切线的问题，本题涉及到了求导公式，求最值的方法，导数的几何意义等，综合性强，难度较大，解题时注意体会．