题目内容

已知函数f(x)=2loga(x+1)-loga(1-x)其中a>0,且a≠1,
(1)求函数y=f(x)的定义域;
(2)当0<a<1时,解关于x的不等式f(x)≥0;
(3)当a>1,且x∈[0,1)时,总有f(x)≥m恒成立,求实数m的取值范围.
分析:(1)由
x+1>0
1-x>0
可得x∈(-1,1),从而得到函数f(x)的定义域.
(2)由f(x)≥0得2loga(x+1)≥loga(1-x),解对数不等式可得
x+1>0
1-x>0
(x+1)2≤1-x
,由此求得它的解集.
(3)设u=
(x+1)2
1-x
=(1-x)+
4
1-x
-4
,令t=1-x,t∈(0,1],利用单调性求得u的最小值为1,可得loga
(x+1)2
1-x
的最小值为0,从而求得m的取值范围.
解答:解:(1)由
x+1>0
1-x>0
 可得x∈(-1,1),故函数f(x)的定义域为(-1,1).…(3分)
(2)由f(x)≥0得2loga(x+1)≥loga(1-x),
∵0<a<1,∴
x+1>0
1-x>0
(x+1)2≤1-x
,∴x∈(-1,0]. …(8分)
(3)由题意知:a>1且x∈[0,1)时,loga
(x+1)2
1-x
≥m
恒成立.…(9分)
u=
(x+1)2
1-x
=(1-x)+
4
1-x
-4
,令t=1-x,t∈(0,1],∴u(t)=t+
4
t
-4t∈(0,1]
,…(10分)
设0<t1<t2≤1,∵u(t1)-u(t2)=(t1-t2)(1-
4
t1t2
)>0
,∴u(t)在t∈(0,1]上单调递减,
∴u(t)的最小值为u(1)=1+
4
1
-4
=1.…(12分)
又∵a>1,∴loga
(x+1)2
1-x
的最小值为0,…(13分)
∴m的取值范围是m≤0.…(14分)
点评:本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,对数不等式的解法,利用单调性求函数的最值,函数的恒成立问题,属于中档题.
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