Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．且c-a=2-

3

．又双曲线C上的任意一点E满足||EF1|-|EF2||=2

3

（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C上的点P满足

PF1

•

PF2

=1，求|PF1|•|PF2|的值；
（3）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由||EF1|-|EF2||=2

3

?a=

3

，由此能导出双曲线C的方程．
（2）设|

PF1

|=r1，|

PF2

|=r2，不妨设r1＞r2＞0，∠F1PF2=θ．再结合余弦定理由

PF1

•

PF2

=1，求|PF1|•|PF2|的值．
（3）联立

y=kx+m x2 3 -y2=1

，整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0，由直线与双曲线有两个不同交点，知1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．由此能导出m的取值范围．

解答：解：（1）由||EF1|-|EF2||=2

3

?a=

3

∵c-a=2- 3 ，  &∴c=2． ∴b2=c2-a2=1.

∴双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1．
（2）设|

PF1

|=r1，|

PF2

|=r2，不妨设r1＞r2＞0，∠F1PF2=θ．

由 PF1 • PF2 =1?r1r2cosθ=1. 又r1-r2=2 3 ? r 2 1 + r 2 2 -2r1r2=12. 在△PF1F2中，由余弦定理得16= r 2 1 + r 2 2 -2r1r2cosθ. ∴r1 r   2 =3.

∴|PF₁|•|PF₂|=3
（3）联立

y=kx+m x2 3 -y2=1

，整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0
∵直线与双曲线有两个不同交点，
∴1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．①

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，

，∴kAB=

m 1-3k2 +1

3km 1-3k2

=-

1

k

(k≠0，m≠0).
整理得3k²=4m+1．②
将②式代入①式，得m²-4m＞0，∴m＞4或m＜0．
又3k2=4m+1＞0(k≠0)即m＞-

1

4

．
∴m的取值范围为m＞4或-

1

4

＜m＜0．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，计算量较大，比较繁琐，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，提高解题能力和解题技巧．