题目内容

已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）（文科）已知k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）对于任意t∈R恒成立，求实数x的取值集合；
（3）（理科）设不等式f（x）≤2的解集为集合A，若存在x∈A，使得x²+（1-a）x=-9求实数a的最小值．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$
∴x＞2时，2x-3＞1；x＜1时，3-2x＞1；1≤x≤2时，f（x）=1
∴f（x）_min=1
（2）∵|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
问题转化为f（x）≤2 即|x-1|+|x-2|≤2
显然由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴实数x的取值集合为 $\text{[math]}$
（3） $\text{[math]}$ ，由x²+（1-a）x=-9得 $\text{[math]}$
由函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
故实数的最小值为 $\text{[math]}$
分析：（1）先对函数进行化简可得f（x）= $\text{[math]}$ ，结合函数的性质可求函数的最小值
（2）由|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）对于任意t∈R恒成立转化为f（x）≤2 即|x-1|+|x-2|≤2，解绝对值不等式可得x的取值集合
（3）由（1）可得 $\text{[math]}$ ，由x²+（1-a）x=-9得 $\text{[math]}$
结合函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调性及 $\text{[math]}$ 从而有 $\text{[math]}$ ，解不等式可求a的取值范围，进而可求实数a的最小值
点评：（1）利用绝对值的几何意义是解决本题的关键（2）不等式的恒成立往往转化为求解函数的最值问题，（3）单调性的应用是解决此类问题的重要方法