题目内容
【题目】函数,
.
(1)设是函数
的导函数,求
的单调区间;
(2)证明:当时,
在区间
上有极大值点
,且
.
【答案】(1)在上单调递减,在
上单调递增;(2)详见解析.
【解析】
(1)求导可得,继续求导得到
,判断
的正负,进而可得到
的单调区间;(2)由(1)可知,
在
上单调递减,结合
时,
,可以证明
为
的极大值点,同时可以知道
,而
,所以有
,再构造函数
,利用导数可证明
,即可得证.
解:(1)定义域为,
,
,
令,
,
,
∴在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)由(1)可知在
上单调递减,∵
,∴
,
,
,设
,∵
,
,∴
,∴
,∴
,使得
,
时,
,
时,
,所以
为函数
的极大值点.
∵,即
①,
,当
时,
,且由(1)可知
在
上单调递减,所以
,
②,将①代入②整理得:
,设
,则
,∴
在
上单调递减,∴
,所以当
时,
恒成立.
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练习册系列答案
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【题目】某生鲜批发店每天从蔬菜生产基地以5元/千克购进某种绿色蔬菜,售价8元/千克,若每天下午4点以前所购进的绿色蔬菜没有售完,则对未售出的绿色蔬菜降价处理,以3元/千克出售.根据经验,降价后能够把剩余蔬菜全部处理完毕,且当天不再进货.该生鲜批发店整理了过往30天(每天下午4点以前)这种绿色蔬菜的日销售量(单位:千克)得到如下统计数据(视频率为概率)(注:x,y∈N*)
每天下午4点前销售量 | 350 | 400 | 450 | 500 | 550 |
天数 | 3 | 9 | x | y | 2 |
(1)求在未来3天中,至少有1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率.
(2)若该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据,当购进450千克比购进500千克的利润期望值大时,求x的取值范围.