Question

（2012•广元三模）在一次运动会中，某小组内的甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，、没有平局；在参与的每一场比赛中，甲胜乙的概率为

1

3

，甲胜丙的概率为

1

4

，乙胜丙的概率为

1

3

．
（I）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（II）设该小组比赛中甲的得分为ξ，求Eξ．

Answer 1

分析：（I）已知要求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率，即“甲胜乙、甲胜丙、丙胜乙”同时发生，因为甲胜乙的概率为

1

3

，甲胜丙的概率为

1

4

，乙胜丙的概率为

1

3

，从而求出其概率；
（II）小组比赛中甲的得分为ξ可能值为0、1、2，P（ξ=k），k=0、1、2，再根据期望的公式进行求解；

解答：解：（I）甲获得小组第一，且丙获得第二，则甲应胜两场，丙胜一场，
即“甲胜乙、甲胜丙、丙胜乙”同时发生，
∵甲胜乙的概率为

1

3

，甲胜丙的概率为

1

4

，乙胜丙的概率为

1

3

，
∴甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率为

1

3

×

1

4

×（1-

1

3

）=

1

18

，
（II）ξ的可能值为0、1、2，
P（ξ=0）=（1-

1

3

）（1-

1

4

）=

1

2

；
P（ξ=1）=

1

3

×

3

4

+

2

3

×

1

4

=

5

12

，
P（ξ=2）=

1

3

×

1

4

=

1

12

，
∴Eξ=0×

1

2

+1×

5

12

+2×

1

12

=

7

12

．

点评：此题主要考查离散随机变量的期望公式，这也是高考的热点问题，此题是一道基础题；