Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，其中a∈N^*，an+1=

an 3 ，an为3的倍数 an+1，an不为3的倍数

，集合A={x|x=a_n，n=1，2，3，…}．
（I）若a=4，写出集合A中的所有的元素；
（II）若a≤2014，且数列{a_n}中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；
（III）求证：1∈A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=a=4，利用递推关系依次求出a₂，a₃，a₅，a₆，a₇，发现a₆以后的值与前6项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；
（Ⅱ）设出数列中的一项为a_k，若a_k是3的倍数，则有ak+1=

1

3

ak；若a_k是被3除余1，由递推关系得到ak+3=

1

3

ak+2；若a_k被3除余2，由递推关系得到ak+2=

1

3

ak+1．说明构成的连续7项成等比数列的公比为

1

3

，结合数列递推式得到a_k符合的形式，再保证满足a_k≤2014即能求出答案；
（Ⅲ）分a_k被3除余1，a_k被3除余2，a_k被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{a_n}中必存在某一项a_m≤3，然后分别由a_m=1，a_m=2，a_m=3进行推证，最终证得1∈A．

解答：（I）解：∵a₁=a=4，∴a₂=a₁+1=5，a₃=a₂+1=6，
a4=

a3

3

=

6

3

=2，a₅=a₄+1=3，a6=

a5

3

=

3

3

=1，
a₇=a₆+1=2，…
∴集合A的所有元素为：4，5，6，2，3，1；
（II）解：不妨设数列中的一项为a_k，
如果a_k是3的倍数，则ak+1=

1

3

ak；
如果a_k是被3除余1，则由递推关系可得a_k+2=a_k+2，∴a_k+2是3的倍数，∴ak+3=

1

3

ak+2；
如果a_k被3除余2，则由递推关系可得a_k+1=a_k+1，∴a_k+1是3的倍数，∴ak+2=

1

3

ak+1．
∴该7项等比数列的公比为

1

3

．
又∵an∈N*，∴这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），
设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得ak=p×36．
∵3⁶＜2014＜3⁷，∴ak=36或ak=2×36．
由递推关系式可知，在该数列的前k-1项中，满足小于2014的各项只有：a_k-1=3⁶-1，或2×3⁶-1，
a_k-2=3⁶-2，或2×3⁶-2，
∴首项a的所有可能取值的集合为：{3⁶，2×3⁶，3⁶-1，2×3⁶-1，3⁶-2，2×3⁶-2}．
（III）证明：若a_k被3除余1，则由已知可得a_k+1=a_k+1，ak+2=ak+2，ak+3=

1

3

(ak+2)；
若a_k被3除余2，则由已知可得a_k+1=a_k+1，ak+2=

1

3

(ak+1)，ak+3≤

1

3

(ak+1)+1；
若a_k被3除余0，则由已知可得ak+1=

1

3

ak，ak+3≤

1

3

ak+2；
∴ak+3≤

1

3

ak+2，
∴ak-ak+3≥ak-(

1

3

ak+2)=

2

3

(ak-3)
∴对于数列{a_n}中的任意一项a_k，“若a_k＞3，则a_k＞a_k+3”．
∵ak∈N*，∴a_k-a_k+3≥1．
∴数列{a_n}中必存在某一项a_m≤3（否则会与上述结论矛盾）
若a_m=1，结论得证．
若a_m=3，则a_m+1=1；若a_m=2，则a_m+1=3，a_m+2=1，
∴1∈A．

点评：本题考查了数列的递推式，考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，考查了学生的抽象思维能力，属中高档题．