题目内容
已知对任意正整数n，满足fn+1（x）=fn′（x），且f1（x）=sinx，则f2013（x）=（ ）
分析：依次求出前几个函数的导函数，由此可以看出fn（x）呈周期出现，且4为周期，则答案可求．
解答：解：由f1（x）=sinx，得f2(x)=f1′(x)=(sinx)′=cosx．
f3(x)=f2′(x)=(cosx)′=-sinx．
f4(x)=f3′(x)=(-sinx)′=-cosx．
f5(x)=f4′(x)=(-cosx)′=sinx．
…
由上可知，fn（x）呈周期出现，且4为周期．
由2013=4×503+1
所以f2013（x）=f4×503+1（x）=f1（x）=sinx．
故选A．
f3(x)=f2′(x)=(cosx)′=-sinx．
f4(x)=f3′(x)=(-sinx)′=-cosx．
f5(x)=f4′(x)=(-cosx)′=sinx．
…
由上可知，fn（x）呈周期出现，且4为周期．
由2013=4×503+1
所以f2013（x）=f4×503+1（x）=f1（x）=sinx．
故选A．
点评：本题考查了导数的运算，考查了基本初等函数的导数公式，考查了函数周期的运用，是基础题．
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