Question

给出如下四个命题：①回归直线方程y=

b

x+

a

必过点(

.

x

，

.

y

)；②幂函数y=（m²-m-1）x^1-m在R上是减函数；③“a，b∈[0，1]”是“函数f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π有两相异极值点的概率为

1

2

”的充要条件；④命题“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定为“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．其中正确命题的个数是（　　）

A．①③

B．②③

C．①④

D．②④

Answer 1

分析：第①个命题说明回归直线通过样本中心点．
②：由幂函数的概念判断出m²-m-1等于1；列出等式求出m，再根据象关于y轴对称验证其指数为偶数．再判断其单调性；
③：先利用导数求出函数f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π在R上有两个相异极值点的充要条件，得出关于a，b的约束条件，在a-o-b坐标系中画出可行域，再利用几何概型求出两者的面积比即可．
④：特称命题“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定是：把?改为?，其它条件不变，然后否定结论，变为一个特称命题．即“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．

解答：解：对于①，已知n个散点A_i（x_i，y_i），（i=1，2，3，…，n）的线性回归方程为

y

=bx+a，若a=

.

y

-b

.

x

，（其中

.

x

=

1

n

n

i=1

xi，

.

y

=

1

n

n

i=1

yi），则此回归直线必经过点（

.

x

，

.

y

），这说明回归直线一定经过样本中心点，故正确．
对于②：∵幂函数f（x）=（m²-m-1）x^1-m
∴m²-m-1=1⇒m=-1或m=2
当m=2时，幂函数f（x）=（m²-m-1）x^1-m=x^-1，
它不在R上是减函数，故错；
③：易得f′（x）=ax²-2bx+a，
对于函数f(x)=

1

3

ax3-bx2+ax+π在R上有两个相异极值点的充要条件：
是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b²-4a²＞0，
又若a，b在区间[0，1]上取值，则b＞a，
点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，
其中正方形区域的面积为1，阴影部分的面积为

1

2

，
但反之不能成立，因为当a，b在区间[1，2]上取值时，也得到有两相异极值点的概率为

1

2

”．故错．
对于④，全称命题“?x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定是特称命题：“?x∈[1，2]，x²-1＜0”．故正确．
故选C．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、命题的否定、线性回归方程、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．