题目内容
【题目】已知圆与圆
的公共点的轨迹为曲线
,且曲线
与
轴的正半轴相交于点
.若曲线
上相异两点
满足直线
的斜率之积为
.
(1)求的方程;
(2)证明直线恒过定点,并求定点的坐标.
【答案】(1);(2)证明见解析,
.
【解析】试题分析:(1)确定,可得曲线
是长轴长
,焦距
的椭圆,即可求解椭圆的方程;(2)分类讨论,设出直线的方程,代入椭圆的方程,利用韦达定理,结合直线
的斜率之积为
,即可证直线
恒过定点,并求出定点的坐标.
试题解析:(1)设⊙,⊙
的公共点为
,
由已知得,,
故,因此曲线
是长轴长
,焦距
的椭圆,
所以曲线;
(2)由曲线的方程得,上顶点
,记
,
若直线的斜率不存在,则直线
的方程为
,故
,且
,
因此,与已知不符,
因此直线AB的斜率存在,
设直线,代入椭圆
:
①
因为直线与曲线
有公共点
,所以方程①有两个非零不等实根
,
故,
又,
,
由,得
即
所以
化简得: ,故
或
,结合
知
,
即直线恒过定点
.
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练习册系列答案
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【题目】某中学举办安全法规知识竞赛,从参赛的高一、高二学生中各抽出100人的成绩作为样本,对高一年级的100名学生的成绩进行统计,并按,
,
,
,
,
分组,得到成绩分布的频率分布直方图(如图)。
(1)若规定60分以上(包括60分)为合格,计算高一年级这次竞赛的合格率;
(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此,估计高一年级这次知识竞赛的学生的平均成绩;
(3)若高二年级这次竞赛的合格率为,由以上统计数据填写下面
列联表,并问是否有
的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关”。
高一 | 高二 | 合计 | |
合格人数 | |||
不合格人数 | |||
合计 |
附:参考数据与公式
高一 | 合计 | ||
合格人数 | a | b | a+b |
不合格人数 | c | d | c+d |
合计 | a+c | b+d | n |
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |