Question

如图，平面ABCD⊥平面ABE，其中四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，且AB=2，点F、G分别是BC、AE的中点．
（Ⅰ）求三棱锥F-ABE的体积；
（Ⅱ）求证：BG∥平面EFD；
（Ⅲ）若点P在线段DE上运动，求证：BG⊥AP．

Answer 1

分析：（Ⅰ）说明BF是三棱锥F-ABE的高，求出底面ABE的面积，即可求出体积；
（Ⅱ）取DE中点M，连接MG、FM，要证BG∥平面EFD，只需证明平面EFD外的直线BG，平行平面EFD内的直线FM即可．
（Ⅲ）点P在线段DE上运动，证明BG垂直平面DAE内的两条相交直线AD，AE，即可证明BG⊥平面DAE，从而证明BG⊥AP．

解答：解：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE，
因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，（2分）
所以VF-ABE=

1

3

S△ABE•BF=

1

3

×

1

2

AE•BG•BF=

1

6

× 2×

3

×1 =

3

3

．
（Ⅱ）取DE中点M，连接MG、FM，
因为MG=

1

2

AD，BF=

1

2

AD，所以MG=BF，
四边形FBGM是平行四边形，所以BG∥FM．（6分）
又因为FM?平面EFD，BG?平面EFD，
所以BG∥平面EFD．（8分）
（Ⅲ）因为DA⊥平面ABE，BG?平面ABE，所以DA⊥BG．（9分）
又BG⊥AE，AD∩AE=A，
所以BG⊥平面DAE，又AP?平面DAE，（11分）
所以BG⊥AP．（12分）

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系，考查空间想像能力，推理论证能力和运算求解能力．