Question

（2012•江西模拟）已知函数f(x)=

ex-a

x

，g（x）=alnx+a．
（1）a=1时，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定函数F(x)=

ex-1

x

-lnx-1(x＞0)，求导函数，利用F'（x）≥0，确定函数的单调增区间；F'（x）≤0，确定函数的单调减区间；
（2）构造F（x）=f（x）-g（x）（x＞1），若x＞1时，函数y=f（x）的图象总在函数y=g（x）的图象的上方，即F（x）＞0恒成立，求出导函数F′(x)=

(x-1)(ex-a)

x2

．分类讨论，确定函数的最小值，从而可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）a=1时，F(x)=

ex-1

x

-lnx-1(x＞0)，
则F′(x)=

xex-(ex-1)

x2

-

1

x

=

(x-1)(ex-1)

x2

…（3分）
令F'（x）≥0有：x≤0（舍去）或x≥1；令F'（x）≤0有0≤x≤1…（5分）
故F（x）的单增区间为[1，+∞）；单减区间为（0，1]．…（6分）
（2）构造F（x）=f（x）-g（x）（x＞1），即F(x)=

ex-a

x

-alnx-a(x＞1)
则F′(x)=

(x-1)(ex-a)

x2

．
①当a≤e时，e^x-a＞0成立，则x＞1时，F'（x）＞0，即F（x）在（1，+∞）上单增，…（7分）
令F（1）=e-a-a≥0，∴a≤

1

2

e，故a≤

1

2

e…（8分）
②a＞e时，F'（x）=0有x=1或x=lna＞1
令F'（x）≥0有x≤1或x≥lna；令F'（x）≤0有1≤x≤lna…（9分）
即F（x）在（1，lna]上单减；在[lna，+∞）上单增…（10分）
故F（x）_min=F（lna）=-aln（lna）-a＞0，∴a＜e

1

e

，舍去…（11分）
综上所述，实数a的取值范围a≤

1

2

e…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是构造函数，确定函数的最值．