题目内容

函数f（x）=ax³+（a-1）x²+48（b-3）x+b的图象关于原点成中心对称，则f（x）

A.
在 $数学公式$ 上为增函数
B.
在 $数学公式$ 上不是单调函数
C.
在 $数学公式$ 上为减函数，在 $数学公式$ 上为增函数
D.
在 $数学公式$ 为增函数，在 $数学公式$ 也为增函数

D
分析：由题意判断出f（x）必为奇函数，由此根据奇函数的定义列出方程组，进而求出函数的解析式，求出导函数后，分析导函数在各个区间上的符号，即可得到答案．
解答：由f（x）关于原点中心对称，即f（x）是奇函数，
∴ $\text{[math]}$ ，解得a=1，b=0，
则f（x）=x³-144x
∴f′（x）=3x²-144=3（x²-48）=3（x- $\text{[math]}$ ）（x+ $\text{[math]}$ ），
令f′（x）＞0，则x＜- $\text{[math]}$ 或x＞ $\text{[math]}$
令f′（x）＜0，则- $\text{[math]}$ ＜x＜ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上为减函数，在（-∞，- $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函数，
故选D．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，及函数奇偶性的性质，其中根据已知条件判断出函数为奇函数，进而求出函数的解析式，是解答本题的关键．

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有下列命题：
①若f（x）存在导函数，则f′（2x）=[f（2x）]′．
②若函数h（x）=cos⁴x-sin⁴x，则h′(

)=1；
③若函数g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），则g′（2010）=2009!．
④若三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，则“a+b+c=0”是“f（x）有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是

18、已知函数f（x）=ax³-6ax²+b（x∈[-1，2]）的最大值为3，最小值为-29，求a、b的值．

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定义：（1）设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”；
定义：（2）设x₀为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x₀，f（x₀））对称．
己知f（x）=x³-3x²+2x+2，请回答下列问题：
（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标

；
（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论

若函数f（x）=ax³-2x²+a²x在x=1处有极小值，则实数a等于

已知下表为函数f（x）=ax³+cx+d部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01．

x	-0.61	-0.59	-0.56	-0.35	0	0.26	0.42	1.57	3.27
y	0.07	0.02	-0.03	-0.22	0	0.21	0.20	-10.04	-101.63

根据表中数据，研究该函数的一些性质：
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在[0.55，0.6]上是否存在零点，并说明理由．