Question

己知函数f（x）=|x³+a|，a∈R在[-1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）-|x²-1|的零点个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：根据条件求出函数M（a）的表达式，然后由g（x）=0得M（x）=|x²-1|，利用数形结合即可得到 函数的零点个数．

解答：解：当a=0时，f（x）=|x³+a|=|x³|为偶函数，此时最大值为M（a）=M（-1）=M（1），
当a＞0时，函数在[-1，1]上的最大值为M（a）=f（1）=|1+a|=a+1，
当a＜0时，函数在[-1，1]上的最大值为M（a）=f（-1）=|-1+a|=1-a，
即M（a）=

a+1，a≥0 1-a，a＜0

．
∴M（x）=

x+1，x≥0 1-x，x＜0

．
由g（x）=M（x）-|x²-1|=0得M（x）=|x²-1|，
令函数y=M（x），y=m（x）=|x²-1|，
作出两个函数的图象如图：
则两个图象的交点个数有3个．
故函数g（x）=M（x）-|x²-1|的零点个数为3个．
故选：C．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键，根据条件求出M（a）的表达式是本题的难点．