题目内容
已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足
=x
+y
+z
(x，y，z∈R)，则”x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的（ ）
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
| A、充分但不必要条件 |
| B、必要但不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理．用
，
，
表示出
，进而用
，
，
表示
，三者的系数之和为1即可找出答案．
| OB |
| BC |
| BD |
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
| OA |
解答：解：已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足
=x
+y
+z
(x，y，z∈R)，则”x+y+z=1”是“点P位于平面ABC内”的充要条件．证明如下：
（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
?对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得
=
+x1
+y1
=
+x1（
-
）+y1（
-
）
=（1-x1-y1）
+x1
+y1
，
取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，
则有
=x
+y
+z
，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
=x
+y
+z
．
所以x=1-y-z得
=（1-y-z）
+y
+z
．
=
+y
+z
，即：
=y
+z
，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
=x
+y
+z
．
故选C．
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
?对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得
| OA |
| OB |
| BC |
| BD |
=
| OB |
| OC |
| OB |
| OD |
| OB |
=（1-x1-y1）
| OB |
| OC |
| OD |
取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，
则有
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
所以x=1-y-z得
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
| OA |
| OB |
| BC |
| BD |
| BA |
| BC |
| BD |
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得
| OA |
| OB |
| OC |
| OD |
故选C．
点评：本题考查共线向量与共面向量定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
是“点P位于平面ABC内”的
是“点P位于平面ABC内”的（ ）