题目内容

已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足 $数学公式$ $数学公式$ 是“点P位于平面ABC内”的

A.
充分但不必要条件
B.
必要但不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

C
分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理．用 $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ ，进而用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，三者的系数之和为1即可找出答案．
解答：已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是“点P位于平面ABC内”的充要条件．证明如下：
（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
?对空间任一点O，存在实数x₁、y₁，使得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +x₁ $\text{[math]}$ +y₁ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ +x₁（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+y₁（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=（1-x₁-y₁） $\text{[math]}$ +x₁ $\text{[math]}$ +y₁ $\text{[math]}$ ，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
则有 $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ +z $\text{[math]}$ ，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ +z $\text{[math]}$ ．
所以x=1-y-z得 $\text{[math]}$ =（1-y-z） $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ +z $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ +z $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$ ，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得 $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ +z $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查共线向量与共面向量定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．