Question

19．设函数f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx+a（0＜ω＜1，a∈R），f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后得到函数g（x），若g（x）的图象关于y轴对称，解答以下问题：
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在区间[$\frac{3}{4}$π，$\frac{5}{4}$π]上的最小值为$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{2}$ω+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，由$\frac{π}{2}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，结合范围0＜ω＜1，即可解得ω的值．
（2）由x∈[$\frac{3}{4}$π，$\frac{5}{4}$π]，可得$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，解得sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）_min=-$\frac{1}{2}$，根据$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+a$=$\sqrt{3}$，从而解得a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos2ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2ωx+a=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∴f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位后得到函数g（x）=sin[2ω（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=sin（2ωx+$\frac{π}{2}$ω+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∵g（x）的图象关于y轴对称，
∴$\frac{π}{2}$ω+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得ω=k$+\frac{1}{3}$，由0＜ω＜1，可得ω的值为$\frac{1}{3}$，
（2）由（1）可得f（x）=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∵x∈[$\frac{3}{4}$π，$\frac{5}{4}$π]，
∴$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{3}$）_min=-$\frac{1}{2}$，
∴由题意可得：$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+a$=$\sqrt{3}$，从而解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．