题目内容

设f(x)=
x
1+x2
，试通过计算f（f（x）），f（f（f（x））），来猜想
f(f(…f(x)))
n次
的解析式：
f(f(…f(x)))
n次
=
x
1+nx2
x
1+nx2
．
分析：分别计算出f（f（x）），f（f（f（x））），根据函数解析式的规律，利用归纳推理进行归纳即可．
解答：解：∵f(x)=
x
1+x2
，
∴f（f（x））=f（
x
1+x2
）=
x
1+x2
1+(
x
1+x2
)2
=
x
1+x2
1+
x2
1+x2
=
x
1+x2
1+2x2
1+x2
=
x
1+2x2
，
f（f（f（x）））=f(
x
1+2x2
)=
x
1+2x2
1+(
x
1+2x2
)2
=
x
1+2x2
1+
x2
1+2x2
=
x
1+2x2
1+3x2
1+2x2
=
x
1+3x2
，
∴由归纳推理猜想
f(f(…f(x)))
n次
的解析式：
f(f(…f(x)))
n次
=
x
1+nx2
．
故答案为：
x
1+nx2
．
点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用条件先求出函数表达式的前几项，根据规律即可得到结论，考查学生的观察与总结能力．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=lnx+
b+2x+1
(x＞1)，其中b为实数．
（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；
②求函数f（x）的单调区间．
（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m的取值范围．
（2013•天河区三模）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f'（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．
（1）设函数f(x)=Inx+
b+2x+1
(x＞1)，其中b为实数．
（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
（ii）求函数f（x）的单调区间．
（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，a=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m取值范围．
已知A={x|x2-mx-2x+2m≤0，m≥0}，f（x）=ax2+3x-b（a，b为正整数），设f（x）=x的两根为x1，x2，且|x1-x2|=3
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=
f(x)1+x
，若g（x）在A中恒有g（x）＞m，求m的取值范围．
（2013•韶关一模）设f（x）在区间I上有定义，若对?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≥
f(x1)+f(x2)
2
，则称f（x）是区间I的向上凸函数；若对?x1，x2∈I，都有f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
，则称f（x）是区间I的向下凸函数，有下列四个判断：
①若f（x）是区间I的向上凸函数，则-f（x）在区间I的向下凸函数；
②若f（x）和g（x）都是区间I的向上凸函数，则f（x）+g（x）是区间I的向上凸函数；
③若f（x）在区间I的向下凸函数，且f（x）≠0，则
1
f(x)
是区间I的向上凸函数；
④若f（x）是区间I的向上凸函数，?x1，x2，x3，x4∈I，则有f（
x1+x2+x3+x4
4
）≥
f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)
4

其中正确的结论个数是（　　）
（2009•嘉定区二模）设等比数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，公比q=
λ
1+λ
（λ≠-1且λ≠0）．
（1）证明：Sn=（1+λ）-λan；
（2）设f(x)=
x
1+x
，数列{bn}满足b1=f（1），bn=f（bn-1）（n∈N*且n≥2），求数列{bn}的通项公式及
lim
n→∞
1
n2
(
1
b1
+
1
b2
+…
1
bn
)的值．

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